前言
今年公司的事情比较多,所以在个人投研上花费的精力较少;这应该是今年最后一篇研究札记了。最近读了一篇发表于2020年10月的论文《Practical Implementation of the Kelly Criterion: Optimal Growth Rate, Number of Trades, and Rebalancing Frequency for Equity Portfolios》,该文综述了学术界在凯利公式方面的相关研究,同时开发了一个通用框架,将凯利准则应用于股票市场数据,从而应用于投资组合优化。随后,我又做了一些相关的简单测算,并将想法记录如下,欢迎讨论交流。
根据我的发帖习惯,还是先给出结论:
1、在现实投资环境中,经典凯利公式的实用性有限 —— 最粗糙的用法是,不要在单一资产或股票上,投入超过50%的总资金。
2、在实际投资环境中,多数情况下,采用凯利公式(变形)和等权重配置,很难说孰优孰劣,但基于稳健性(robust)、参数更少(过拟合的可能更低)和实操难度更低的考虑,我个人更倾向于采用等权重配置、而非凯利公式。
3、在 @账户已注销 的投资框架中,通过凯利公式(变形),可以将“投稳”和“投变”的资产,组合成一个类似于“投增”的资产;“投变”资产的具体配置比例,可以根据个人的偏好,在凯利公式计算结果的50-100%之间滑动。
一、经典凯利公式、变形及风险平价策略
1、经典凯利公式
经典的凯利公式,如下所示;而通过凯利公式计算某一资产的资金配置比例,需要知道 胜率(获胜概率)和 赔率(盈亏比)。PS:关于经典凯利公式的推导过程,可以看 up主 科技3D视界 《凯利公式,以及一个横扫股圈的男人》 ;讲述地非常简洁和容易理解(但需要注意的是,这个up主的其他视频并不是完全正确的,部分内容存在偷换概念和其他问题,观看时请自行甄别)。
2、凯利公式的变形
在现实投资环境中,凯利公式需要的两个参数(胜率与赔率)是比较难精准统计和测算的。如果假设资产价格的波动符合正态分布,那么经典的凯利公式,可以变形为如下所示(具体推导过程,可以参见论文中的公式 9,这里就不详述了);
同时,所需参数,也由 胜率和赔率,变为 资产收益的均值(u)、资产价格的波动率(σ)和无风险利率(r);而这3个参数,是比较容易获取和统计的。
3、变形的衍生:风险平价策略
如果假设各类资产的长期夏普比例相同并且无风险利率为0,那么凯利公式(变形)的配置原则就类似于风险平价策略了(波动率大的少配、波动率小的多配)。PS:当然,这是一个粗糙的比喻;事实上,还需要考虑资产间的协方差,如下所示。
这里想说一句题外话:
通过对凯利公式设置新的假设条件和参数,就可以把不同的投资思想串联到一起,这个推导其实是很美的,同时这个过程也很让人享受 —— 就好像当初刚学概率分布的时候,以正态分布为基础,通过调整假设和参数,就可以推导出不同概率的关联图谱,把伯努利分布、二项分布、泊松分布等等,都串联起来。
二、凯利公式(变形)的资金配置原则
根据上述论文的蒙特卡洛模拟的结果,如下图所示,1)单一资产的配置比例绝不能超过90%(下图的 fc) —— 否则,长期看,终将破产
2)单一资产的配置比例的最优值在[50%, 70%](下图的 f*)
3)如果投资者偏好相对保守,采用半凯利比例(half-kelly),将单一资产的配置比例设定在[25%-35%]也是可以的。
具体的蒙特卡洛模拟结果,可以参见下面的图表:
三、凯利公式(变形)与等权重配置的对比
在下文的对比中,计算凯利公式所需参数时,我采用的是1年的滚动窗口(而不是论文中推荐的2年的滚动窗口)。采用这个参数的原因是,从历史数据看,大类资产均存在较为明显的1年期动量(详情参阅 AQR的论文 《Value and Momentum Everywhere》,这里就不赘述了)。
通过对比下面的3组数据:
1)A股的大盘量化策略和小盘量化策略
2)A股量化策略和可转债量化策略
3)标普500和与其高度负相关的资产
可以发现:
1)凯利公式和等权重配置的长期业绩难分伯仲,而在实操上,等权重更为简单
2)资产相关性的高低,对凯利公式的超额影响并不显著,主要原因是我的测算中凯利公式是1阶的,没有考虑2阶问题。
四、用“投稳”+“投变”拟合出“投稳”
@账户已注销 的投资框架中,投稳 30%、投变 10%、投增 60%。其中,“投稳”主要投向类现金资产;“投变”主要投向可能增长10倍、100倍,但也可能归零的高风险、高波动标的;“投增”主要是投向“四猛”行业。
如果用比特币作为“投变”资产、美国短期国债作为“投稳”资产,那么
1)采用等权重配置+月度再平衡,可以获得类似高风险股票的收益
2)采用凯利公式(变形)配置+月度再平衡,可以获得类似于高等级信用债的收益
详情参见下图:
因此,投资者可以根据自己的风险偏好,在凯利公式和等权重比例之间,主动定制自己投资组合的整体预期收益和回撤风险 —— 这也是凯利公式带给我们的核心思想。
五、几种杠杆工具和凯利公式的组合使用
这部分就不展开了,因为说起来比较麻烦;但是仍然欢迎有兴趣的网友一起讨论。在《牛年薄献,普通人可学可用的反脆弱风险控制理念和实践》的回帖中,我给出了不同杠杆的Beta变化情况,如下图所示:
PS:下面的图,是基于期货的Beta始终为1作为参照系的;如果把参照系改成是杠杆ETF始终为1,那么对应的图表是需要变形的。
然后,把这些杠杆工具和凯利公式组合使用,在美国市场上,可以得到下面的图表。
六、结论
1、凯利公式,给出了大的资金管理原则;至于具体的参数细节,则不用过于纠结。2、对于像我这样的懒人来说,等权重配置也挺好。
3、通过“投稳”和“投变”这两类差异极大的资产,结合凯利公式,就可以构建出稳健的“哑铃型”投资组合。
4、杠杆工具和资金配置的组合使用,是可以继续深入研究的 ——“九债一购”是思想框架,是用于启发的,而不是用于“恪守”的。