全仓、半仓、夏普、几何收益率

夏普比率公式：(Rp-Rf)/σ，其中Rp算数收益率，Rf为无风险利率，σ为标的物的标准差。
夏普比率是在讲，每承担一单位总风险，所获得的超额收益是多少。
现在进行思想实验，假设股市的基准为大盘指数，比较的对象为全仓大盘与半仓大盘，实时跟踪且不考虑磨损，那么实际上全仓夏普=(Rp-Rf)/σ；半仓的算数收益率为0.5Rp+0.5Rf，半仓的波动率为0.5σ，计算后，半仓的夏普其实等于全仓。夏普比其实是在说，通过无风险资产和风险资产组合搭配，可以在保持夏普比不变的情况下调整风险暴露。

但这就结束了吗？各种基金产品都十分偏爱夏普，但实际上夏普衡量的是单期风险与收益的权衡，而非长期。
事实上，长期投资，且尤其是涉及到“复利”的表述，其实在说的并不是算数收益率而是几何收益率。而对于几何收益率，可以使用G=Rp-0.5σ^2来近似计算。
为简化，将无风险利率定为0。
此时的全仓几何收益率：Rp-0.5σ^2
半仓的几何收益率：0.5Rp-0.125σ^2
很容易看出来，半仓的几何收益率大于全仓的50%。
这就是所谓的“波动率税”，波动是复利的敌人。
事实上前文的夏普比率，其实是在说，标的物不变的情况下，仓位控制不影响夏普；
那么“波动率税”其实某种意义上在说，标的物不变的情况下，“仓位越小效率越高”
或许这可以解释所谓的股债平衡为何持有体验更好？
当然这里默认仓位是实时变化的，并没有考虑再平衡的影响。
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